2017考研數(shù)學(xué)考試分析之高頻大題(上)
一、極限計算
整張試卷共23題,其中第15題幾乎是極限計算大題的代名詞。極限計算有8種武器,分別為:四則運算法則、等價無窮小替換、洛必達法則、冪指型函數(shù)的處理、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界必有極限原理和泰勒公式。
考生在基礎(chǔ)階段要把前5種武器掌握好:內(nèi)容是什么弄清楚,會應(yīng)用。后3種武器較難把握,我們可以分階段啃下這幾個硬骨頭。基礎(chǔ)階段弄清定理內(nèi)容,會做基本題目。
對于夾逼定理,內(nèi)容方面,考生要知曉它有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。每種形式條件是什么,結(jié)論是什么要理解。以數(shù)列形式為例,條件是一個數(shù)列夾在另兩個數(shù)列之間(bn<= an<= cn, 只要n充分大時成立即可,因為考慮的是極限),且有n趨于無窮時,兩邊的數(shù)列收斂到相同的數(shù),結(jié)論是夾在中間的數(shù)列極限存在且極限值也為相同的數(shù)。應(yīng)用方面,要熟悉夾逼定理推出的一個結(jié)論:無窮小乘有界量等于無窮小。會用夾逼定理計算一種長得很有型的數(shù)列的極限——n項分母互不相同的分式的和的極限。
對于單調(diào)有界必有極限原理,內(nèi)容不難理解。應(yīng)用方面,可以處理另一種長得很有型的數(shù)列的極限問題——遞推式數(shù)列的極限的存在性問題中的簡單題;也可以到了強化階段再全面處理這種題。
泰勒公式可以說是算極限的最強大的武器。萬物對立統(tǒng)一,這么強大的武器理解和運用起來自然會有些難度?;A(chǔ)階段,要理解泰勒公式有兩種形式——帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式,前者用來算極限,后者用來證明。算極限,需要記憶常見函數(shù)的泰勒公式。
二、中值相關(guān)證明
中值相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)公認的難點,考生得分率在30%以下。該部分內(nèi)容比較豐富,包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理?;A(chǔ)階段,要求考生對上述定理的內(nèi)容能完整表述,前四個定理會證明。
在基礎(chǔ)階段提出“會證”的要求并不過分,理由有三:1. 2015年真題考到了乘積的導(dǎo)數(shù)公式的證明,這提醒考生教材中的重要定理要會證;2. 2009年數(shù)一、二、三考了拉格朗日中值定理的證明3. 教材中原定理的證明中蘊含中證明其它結(jié)論的思想。
三、多元極值
多元極值問題分成兩個子問題:無條件極值和條件極值。
1. 無條件極值
此類問題的表述為:求某二元函數(shù)f(x,y)的極值(或最值)。處理思路為利用多元函數(shù)極值的必要條件和充分條件。通過必要條件找出可能的極值點(駐點和不可導(dǎo)點),利用充分條件一一判斷。這部分考點及處理方式可以看成一元函數(shù)極值問題的考點及處理方式的自然推廣。
2. 條件極值
此類問題的表述為:求某二元函數(shù)f(x,y)在約束條件g(x,y)=0下的極值(或最值)。處理思路為拉格朗日乘數(shù)法。
四、二重積分
二重積分幾乎是數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三的必考內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)一同學(xué)學(xué)習(xí)多元積分的基礎(chǔ)。二重積分比較關(guān)鍵的是計算步驟。拿到一個二重積分,第一步應(yīng)檢驗奇偶對稱性。有同學(xué)可能由于想不到或急于求成,未用對稱性化簡,結(jié)果徒增運算量,增大出錯的概率。第二步應(yīng)選擇坐標(biāo)系。只需搞清何時選擇極坐標(biāo)系,其余情況選擇直角坐標(biāo)系既可。二重積分有兩個要素——積分區(qū)域和被積函數(shù),所以計算過程中涉及到選擇的時候要一看積分區(qū)域,二看被積函數(shù)。積分區(qū)域若為圓域或部分圓域,或者區(qū)域的邊界的極坐標(biāo)方程較直角坐標(biāo)方程簡單,則選極坐標(biāo)系,若被積函數(shù)為“f(x^2+ y^2)”的形式,也選極坐標(biāo)系。
若選擇了極坐標(biāo)系,那接下來干什么?要選擇積分次序嗎?不用選,肯定是先對r積分后對角度積分,另一種次序的積分幾乎沒出現(xiàn)過。再往后就是定限了。極坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為:從原點出發(fā)畫一條射線穿過積分區(qū)域,與積分區(qū)域的邊界有兩個交點,這兩個交點的r坐標(biāo)即為第一次積分的積分上下限(把交點的r坐標(biāo)用角度表示)。接下來,讓剛才畫的這條射線繞著原點旋轉(zhuǎn),直到與積分區(qū)域的邊界相切,這兩條切線對應(yīng)的角度即為第二次積分的積分上下限。
若選擇了直角坐標(biāo)系,那接下來要選擇積分次序。又涉及到選擇了,當(dāng)然是一看積分區(qū)域,二看被積函數(shù)??捶e分區(qū)域的原則是避免分類討論,看被積函數(shù)的原則是讓第一次積分簡單。次序選完后,就進入到收官階段——定限了。直角坐標(biāo)系下定限可以簡單概括為:先對誰積分就畫一條平行于哪個坐標(biāo)軸的直線,穿過積分區(qū)域,與積分區(qū)域的邊界有兩個交點。這兩個交點就對應(yīng)著第一次積分的積分上下限。接下來,讓剛才畫的這條直線平行移動,直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對應(yīng)著第二次積分的積分上下限。
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