2016考研數(shù)學(xué)極限復(fù)習(xí)建議
基礎(chǔ)階段,我們的目標(biāo)是三基本:基本概念、基本定理、基本方法,因此在基礎(chǔ)階段學(xué)習(xí)極限應(yīng)從兩個(gè)方面著手,一是極限的定義,二是極限的運(yùn)算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解,理解的意思并不是會(huì)背誦定義內(nèi)容,而是能夠領(lǐng)會(huì)定義內(nèi)容背后的所蘊(yùn)含的含義,正確理解所代表的任意小以及代表的距離。
除定義本身以外,極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分,對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)有六種趨近狀態(tài):各自的含義要非常清楚,而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài),雖然沒(méi)有指明,但是數(shù)列里邊的隱含之意為。
極限的計(jì)算則需要首先掌握考研數(shù)學(xué)要考到的七種基本方法,知道七種方法適用的情況。
第一種是四則運(yùn)算,此方法大家最為熟悉,但比較容易出錯(cuò),需要注意使用四則運(yùn)算的前提是進(jìn)行運(yùn)算的函數(shù)極限必須都是存在的;
第二種是等價(jià)無(wú)窮小替換,這一方法比較受歡迎,而且很多極限計(jì)算的問(wèn)題只需經(jīng)過(guò)等價(jià)無(wú)窮小代換就能得出結(jié)果,不需再使用其他方法,需要注意的是等價(jià)無(wú)窮小代換前提必須首先是無(wú)窮小才可代換,另外只能在乘積因子內(nèi)代換(有些是可以在加減因子中代換的,但是在沒(méi)有十足把握的情況下應(yīng)避免使用在加減因子中代換);
第三種是洛必達(dá)法則,適用于及 型未定式,在使用的過(guò)程中需要注意一下幾點(diǎn):
1、洛必達(dá)法則必須結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他類型未定式需要轉(zhuǎn)化成 及 型才可以使用洛必達(dá)法則等;
第四種是泰勒展式,這是解決極限問(wèn)題的利器,在基礎(chǔ)階段不必要求掌握如何使用,只需了解泰勒展式的內(nèi)容即可,具體使用原則會(huì)在強(qiáng)化階段給出;
第五種是夾逼定理,主要用于解決含有不等式關(guān)系的極限問(wèn)題,特別應(yīng)用于 個(gè)分式之和的數(shù)列極限問(wèn)題,通過(guò)放縮分母來(lái)達(dá)到出現(xiàn)不等關(guān)系的目的;
第六種是定積分的定義,與夾逼定理相區(qū)別,夾逼定理解決的問(wèn)題放縮分母后分子可用一個(gè)式子去表示,而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問(wèn)題,通過(guò)主要的三步:1、提取,2、湊出,3、極限符號(hào)及連加符號(hào)改寫(xiě)為,改寫(xiě)為,改寫(xiě)為計(jì)算定積分即可解決個(gè)分式之和的數(shù)列極限問(wèn)題;
第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調(diào)有界性定理,難點(diǎn)在于如何確定證明方向,一般單調(diào)有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問(wèn)題,因此可采取數(shù)學(xué)歸納法證明有界性,做差的辦法證明單調(diào)性。
以上,從大的框架結(jié)構(gòu)上給出了極限一章極限定義和極限計(jì)算的常用方法,希望同學(xué)們對(duì)這一章有一個(gè)宏觀的把握,但是具體的細(xì)節(jié)掌握還要待進(jìn)一步細(xì)致的學(xué)習(xí)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要多留心多總結(jié)把重要的方法記錄下來(lái),錯(cuò)題記錄下來(lái)方便后續(xù)的自我檢查。
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