微分方程內(nèi)容概要與重難點(diǎn)提示

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常微分方程的研究對(duì)象就是常微分方程解的性質(zhì)與求法.跨考教育數(shù)學(xué)教研室郭靜娟老師提醒考生，在復(fù)習(xí)這一章節(jié)時(shí)主要有兩個(gè)問題，一是根據(jù)實(shí)際問題和所給條件建立含有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程及相應(yīng)的初始條件;二是求解方程，包括方程的通解和滿足初始條件的特解.

1.關(guān)于列方程

有關(guān)微分方程的應(yīng)用題，首先是建立方程，這要根據(jù)題意，分析條件，搞清問題所涉及到的基本物理或幾何量的意義，并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)，通過邏輯推理等綜合手段，使問題得到解決.

列方程，建立數(shù)學(xué)模型，是考查考生綜合應(yīng)用能力的重要方面，是考試的重點(diǎn)內(nèi)容之一，同時(shí)也是考生的難點(diǎn)，考生要通過練習(xí)，結(jié)合自己的實(shí)際，總結(jié)建立微分方程的步驟及注意事項(xiàng)(例如正負(fù)號(hào)的處理).

有些微分方程可能是數(shù)學(xué)問題中提供的，例如有的微分方程是由積分方程提出的，有的來自線積分與路徑無關(guān)的充要條件，或微分式子是某個(gè)原函數(shù)的全微分.此時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)化成微分方程來求解，同時(shí)還應(yīng)注意到所給條件中可能還提供了函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值(即初始條件)等信息.

2.關(guān)于解方程

首先，應(yīng)掌握方程類型的判別，因?yàn)椴煌愋偷姆匠逃胁煌慕夥ǎ粋€(gè)方程，可能屬于多種不同的類型，則應(yīng)選擇較易求解的方法.對(duì)于一階方程，通常可按可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程、全微分方程的順序進(jìn)行，特別是一階線性方程和伯努利方程還應(yīng)注意到有時(shí)可以以x為因變量，y為自變量得到，對(duì)于高階方程，一般可按線性方程、歐拉方程、高階可降階的方程進(jìn)行，

第二，是求解方程，不同類型的方程有不同的求解方法，應(yīng)該熟練掌握，典型方程可用固定的變量置換化簡(jiǎn)并求解(如齊次方程、線性方程、伯努利方程、高階可降階方程、歐拉方程等)，如用公式求解一階線性方程，則應(yīng)注意公式應(yīng)用的條件——方程應(yīng)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，對(duì)于線性方程，應(yīng)搞清解的結(jié)構(gòu)理論及齊次線性常系數(shù)方程的特征方程及非齊次方程的特解的設(shè)定等.

第三，對(duì)于不屬于典型方程的方程，作變量代換是一個(gè)有效途徑，作什么樣的變量代換要結(jié)合具體方程的特點(diǎn)來考慮，一般以克服求解方程的困難為目標(biāo)，選擇變量代換可采用試探方式，合適的、使方程得到化簡(jiǎn)并順利求解的則采用，否則應(yīng)重新選擇，平時(shí)應(yīng)多練習(xí)，這樣可以幫助你選擇合適的變量代換.