2017考研數(shù)學:數(shù)項級數(shù)的學習要點
級數(shù)部分從大的方面來分的話主要考察數(shù)項級數(shù)及函數(shù)項級數(shù),數(shù)項級數(shù)部分主要考察級數(shù)的斂散性,函數(shù)項級數(shù)部分涉及到求和及展開,數(shù)三的同學考察冪級數(shù),數(shù)一的同學還考察傅里葉級數(shù),數(shù)二的同學不考察級數(shù)。
數(shù)項級數(shù),顧名思義就是級數(shù)的一般項為數(shù),數(shù)項級數(shù)大體分為兩類考察,一類是正項級數(shù),一般項均為正數(shù);一類是一般項級數(shù),一般項是可正可負的數(shù),其中特殊的是交錯級數(shù),一般項由正負交叉的數(shù)構成。每個類型的級數(shù)都有相應的判別斂散的方法。
正項級數(shù)是考察重點,數(shù)一、三的同學均以考察級數(shù)斂散的判別法為主,但出題的側(cè)重點又有所區(qū)別,數(shù)三的同學以選擇、填空小題為主,數(shù)一的同學除了考察小題以外,還會以判別法,主要是比較審斂法為主考察大題,總之,數(shù)一的同學要求更高一些。正項級數(shù)審斂法主要有:比較審斂法(常需要借助p級數(shù))、比值審斂法(級數(shù)自身前后項相較,適用于一般項含階乘的正項級數(shù))及根值審斂法(級數(shù)自身前后項相較,適用于一般項含n次冪的正項級數(shù))。總得來說,比較審斂法體現(xiàn)了借助已知斂散性的級數(shù)判別未知,比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做,自力更生。
一般項級數(shù)判斂需要遵循一定的步驟進行。首先,計算一般項的極限,如果一般項的極限不為0,那么本級數(shù)必發(fā)散;如果一般項極限為0,只能說明級數(shù)有收斂的可能性,但不能立即判斂(反例:調(diào)和級數(shù)),那么需要進一步判定,如何判定呢?需要將級數(shù)的一般項加絕對值,這樣一個一般項級數(shù)就變?yōu)檎椉墧?shù),即可由正項級數(shù)判斂的三個方法判斂,如果收斂,則此時級數(shù)收斂,且稱為絕對收斂,如果發(fā)散,則需要去掉絕對值,看一般項級數(shù)本身的斂散性;如何判別一般項級數(shù)的斂散呢?此時有兩個走向,一是看級數(shù)是否為交錯級數(shù),如果是交錯級數(shù),則用萊布尼茲條件判斂,收斂,則稱級數(shù)為條件收斂;若雖是交錯級數(shù)卻不滿足萊布尼茲條件,或級數(shù)是一般項級數(shù)但并非交錯級數(shù),那么一般需考慮定義法判斂,所謂定義法,就是先計算級數(shù)的前n項和,然后前n項和取極限,若極限存在,則級數(shù)收斂,若極限不存在,則級數(shù)發(fā)散。
當然,除了以上介紹的審斂法以外,我們還需熟練掌握級數(shù)的一些性質(zhì)(比如:收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級數(shù)的有限項不影響級數(shù)的斂散性等)來判別。希望同學們在學習過程中多注意這些性質(zhì)的運用。
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