2020考研:盤點考研數(shù)學16種求極限的方法
大綱的發(fā)布意味著考研復習進入強化階段,這一階段的高效復習非常關鍵。作為考研課程中的公共課程,數(shù)學在其中起著至關重要的作用。數(shù)學中求極限是每年必考點之一,下面小編給大家總結了16種求極限的方法,要好好掌握!!
解決極限的方法如下:
1、等價無窮小的轉化
只能在乘除時候使用,但是不是說一定在加減時候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小
2、洛必達法則
(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)。首先他的使用有嚴格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數(shù)列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限,當然n趨近是x趨近的一種情況而已,是必要條件(還有一點數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的,不可能是負無窮!)必須是函數(shù)的導數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導,直接用,無疑于找死!!)必須是0比0無窮大比無窮大!
當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況:0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮,無窮減去無窮(應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成第一種的形式了;0的0次方,1的無窮次方,無窮的0次方。對于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法,這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了,就是寫成0與無窮的形式了,(這就是為什么只有3種形式的原因,LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0,當他的冪移下來趨近于無窮的時候,LNX趨近于0)。
3、泰勒公式
(含有e的x次方的時候,尤其是含有正余弦的加減的時候要特變注意!)E的x展開sina,展開cosa,展開ln1+x,對題目簡化有很好幫助。
4、無窮大比上無窮大
面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項除分子分母!!!看上去復雜,處理很簡單!
5、無窮小于有界函數(shù)
無窮小于有界函數(shù)的處理辦法,面對復雜函數(shù)時候,尤其是正余弦的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候,一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數(shù),可能只需要知道它的范圍結果就出來了!
6、夾逼定理
主要對付的是數(shù)列極限!這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式,放縮和擴大。
7、等比等差數(shù)列公式應用
對付數(shù)列極限(q絕對值符號要小于1)
8、各項的拆分相加
(對付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關系,已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的,因為極限去掉有限項目極限值不變化。
9、求左右極限的方式
(對付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關系,已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的,因為極限去掉有限項目極限值不變化。
10、兩個重要極限的應用
這兩個很重要!對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大,無窮小都有對有對應的形式(第2個實際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式)(當?shù)讛?shù)是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限)
11、趨近于無窮大
還有個方法,非常方便的方法,就是當趨近于無窮大時候,不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的!x的x次方快于x!快于指數(shù)函數(shù),快于冪數(shù)函數(shù),快于對數(shù)函數(shù)(畫圖也能看出速率的快慢)!!當x趨近無窮的時候,他們的比值的極限一眼就能看出來了。
12、換元法
換元法是一種技巧,不會對單一道題目而言就只需要換元,而是換元會夾雜其中。
13、四則運算
假如要算的話四則運算法則也算一種方法,當然也是夾雜其中的。
14、數(shù)列極限
還有對付數(shù)列極限的一種方法,就是當你面對題目實在是沒有辦法,走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。
15、單調有界
單調有界的性質,對付遞推數(shù)列時候使用證明單調性!
16、導數(shù)的定義
直接使用求導數(shù)的定義來求極限,(一般都是x趨近于0時候,在分子上f(x加減某個值)加減f(x)的形式,看見了要特別注意)(當題目中告訴你F(0)=0時候f(0)導數(shù)=0的時候,就是暗示你一定要用導數(shù)定義!
【求極限的一般題型】
1、求分段函數(shù)的極限,當函數(shù)含有絕對值符號時,就很有可能是有分情況討論的了!當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候,就要分情況討論應為E的x次方的函數(shù)正負無窮的結果是不一樣的!
2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞?說白了,就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號,這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉!
解決辦法:
1、求導,邊上下限積分求導,當然就能得到結果了,這不是很容易么?但是!有2個問題要注意!問題1:積分函數(shù)能否求導?題目沒說積分可以導的話,直接求導的話是錯誤的!!!!問題2:被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決?
解決1的方法:就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系!更重要的是他能去掉積分符號!
解決2的方法:當x與t的函數(shù)是相互乘的關系的話,把x看做常數(shù)提出來,再求導數(shù)!!當x與t是除的關系或者是加減的關系,就要換元了!(換元的時候積分上下限也要變化!)
3、求的是數(shù)列極限的問題時候:夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候,就考慮x趨近的時候函數(shù)值,數(shù)列極限也滿足這個極限的,當所求的極限是遞推數(shù)列的時候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的單調有界的定理。判斷單調性不能用導數(shù)定義!數(shù)列是離散的,只能用前后項的比較(前后項相除相減),數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對xn與xn+1兩邊同時求極限,就能出結果了!
4、涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題。
解決辦法:主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。因為例如:當x趨近0時候f(x)比x=3的函數(shù),分子必須是無窮小,否則極限為無窮,還有洛必達法則的應用,主要是因為當未知數(shù)有幾個時候,使用洛必達法則,可以消掉某些未知數(shù),求其他的未知數(shù)。
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