談?wù)摽佳袛?shù)學(xué)極限_跨考網(wǎng)
在英文里,limit(極限)通常指一條不能超越的邊界或界限。在數(shù)學(xué)里,當(dāng)函數(shù)的x逐漸趨近某個定值時,該函數(shù)的值也會逐漸趨近某個值,這個值就是函數(shù)的“極限”。
再舉一個例子,如果你有一尺長的金條,每個上你家來的人你都要把手里剩下的金條的1/2分給他,當(dāng)然先來的人占便宜,分到的金條比后來的人多啊。如果全中國13億人都上你家來,你想想,最后你手里的金條還能剩下多少?可能要用顯微鏡來看才能看到了,用數(shù)學(xué)的話說,當(dāng)?shù)侥慵襾淼娜藬?shù)n趨于無窮大時,你手里的金條長度趨于0.
寫成數(shù)列的形式就是: ,取極限。
另外一個例子,假設(shè)你讓鼻子向電風(fēng)扇靠攏過去,可以設(shè)你的鼻尖位置在x,電風(fēng)扇的位置在3(即分別離原點x米和3米),我們想知道,當(dāng)x非常接近3時,會發(fā)生什么事——也就是說,當(dāng)你的鼻尖朝3靠近,而且越來越靠近,但絕對不要真正到達(dá)3,這樣后果很嚴(yán)重。會發(fā)生的事只是,當(dāng)你的鼻尖的位置x離3越來越近,電風(fēng)扇吹到你臉上的風(fēng)越來越強。所以我們的興趣在于,當(dāng)你的鼻子接近3時,你感受到的風(fēng)的強度變化(我們要取,其中的f(x)就是你的鼻子在點x時,所感受到的風(fēng)的強度)。
假設(shè)當(dāng)x=2.9,你感受到的風(fēng)速是6公里/小時,那么當(dāng)鼻子向風(fēng)扇移近,風(fēng)速如下表變化:
鼻子的位置 |
2.9 |
2.99 |
2.999 |
2.9999 |
2.99999 |
風(fēng)速 |
6 |
6.7 |
6.92 |
6.991 |
6.999993 |
從這些數(shù)據(jù)來看,鼻子逐漸靠近風(fēng)扇時,風(fēng)速就會逐漸趨近于7公里/小時,因此我們可以寫成 ? ?=7。這個值和x=3時的f(x)的值無關(guān),只取決于x趨于3的那些函數(shù)值(誰也不想看到x=3時你的鼻子的慘狀)。
對大多數(shù)函數(shù)來說,取極限的過程很平常,比如像多項式,在x趨于a時的極限就是,直接把a帶入x就可以了。
如果每個函數(shù)的極限都這么簡單就好了,但我們通常會遇到一些“問題函數(shù)”。如極限:。當(dāng)x逐漸靠近1時,x -1就會變得非常小,當(dāng)1除以一個非常非常小的數(shù)時,得到的是一個非常非常大的數(shù)(比任何實數(shù)都要大),我們稱之為無窮大,用一個睡覺的8表示:∞。
所以當(dāng)x趨近于1時,趨近于∞.不過由于∞不能算是一個真正的數(shù),所以我們說“該極限不存在”。
除此之外,我們還會遇上其他不存在的極限,如:。當(dāng)x變得越來越小,就越來越大,但永遠(yuǎn)介于-1跟1之間,因為任何一個數(shù)的正弦值都不會超出-1到1的范圍。因此,當(dāng)越來越大,只是在-1跟1之間來回振蕩,而且越來越快,越來越瘋狂,最重要的一個特點是,它不會漸漸靠近任何一個數(shù)。 所以,它沒有極限。
我們可以把“有極限”這回事,想成是函數(shù)f(x)愛上了一個數(shù),當(dāng)自變量x無限靠近某一個數(shù)時,f(x)對這個數(shù)的感情就越深(趨近)。但是顯然用情不專,它不愿定情于一點,永遠(yuǎn)在-1跟1之間搖擺不定,所以到最后,落到?jīng)]有極限的下場,無法與誰共結(jié)連理。
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