線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架(一)_跨考網(wǎng)
線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn):線(xiàn)性方程組。換言之,可以把線(xiàn)性代數(shù)看作是在研究線(xiàn)性方程組這一對(duì)象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。
線(xiàn)性方程組的特點(diǎn):方程是未知數(shù)的一次齊次式,方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同,也可以不同。
關(guān)于線(xiàn)性方程組的解,有三個(gè)問(wèn)題值得討論:(1)、方程組是否有解,即解的存在性問(wèn)題;(2)、方程組如何求解,有多少個(gè)解;(3)、方程組有不止一個(gè)解時(shí),這些不同的解之間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系,即解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。
高斯消元法,最基礎(chǔ)和最直接的求解線(xiàn)性方程組的方法,其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換:(1)、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去;(2)、交換某兩個(gè)方程的位置;(3)、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換。
任意的線(xiàn)性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出,化為階梯形方程組后,就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值,從而求得方程組的解。
對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置,所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的位置提取出來(lái),形成一張表,通過(guò)研究這張表,就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱(chēng)為矩陣。
可以用矩陣的形式來(lái)表示一個(gè)線(xiàn)性方程組,這至少在書(shū)寫(xiě)和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。
系數(shù)矩陣和增廣矩陣。
高斯消元法中對(duì)線(xiàn)性方程組的初等變換,就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組,對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之,任意的線(xiàn)性方程組,都可以通過(guò)對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣,求得解。
階梯形矩陣的特點(diǎn):左下方的元素全為零,每一行的第一個(gè)不為零的元素稱(chēng)為該行的主元。
對(duì)不同的線(xiàn)性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)(有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解),再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明,可得到關(guān)于線(xiàn)性方程組解的判別定理:首先是通過(guò)初等變 換將方程組化為階梯形,若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng),則方程組無(wú)解,若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng),則方程組有解;在方程組有解的情況下,若階梯形的非 零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n,方程組有唯一解,若r
在利用初等變換得到階梯型后,還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形,使用最簡(jiǎn)形,最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零,這對(duì)于求解未知量的值更加方便,但代價(jià)是之前需要經(jīng)過(guò)更多的初等變換。在求解過(guò)程中,選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形,取決于個(gè)人習(xí)慣。
常數(shù)項(xiàng)全為零的線(xiàn)性方程稱(chēng)為齊次方程組,齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù),則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理,以及能夠回答前述的基本問(wèn)題(1)解的存在性問(wèn)題和(2)如何求解的問(wèn)題,這是以線(xiàn)性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來(lái)的最基本理論。
對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形,我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來(lái)表示其解,這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱(chēng)為一個(gè)線(xiàn)性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點(diǎn):有n!項(xiàng),每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定,是一個(gè)數(shù)。
通過(guò)對(duì)行列式進(jìn)行研究,得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開(kāi)等等),這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。
用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組的解的情況,這就是克萊姆法則。
總而言之,可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。?
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