2015管綜初數(shù):解析幾何的兩大法寶(二)
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解析幾何在每次考試25道題目中占據(jù)的數(shù)量為2至3道,從上述描述中可看出幾乎每年的題目中都會考到兩個(gè)公式的應(yīng)用,而出現(xiàn)的類型主要就是幾類位置關(guān)系中的某一種。
14年和15年考過的有關(guān)解析幾何位置關(guān)系的具體題目如下:
【2014年1月第21題】已知x,y為實(shí)數(shù),則x^2+y^2≥1
(1)4y-3x≥5 (2)(x-1)^2+(y-1)^2≥5
【解析】考查直線與圓、圓與圓的關(guān)系
本題屬于求二元代數(shù)式取值范圍的問題,此類問題兩大思路,換元法、代數(shù)轉(zhuǎn)化幾何法。若已知條件為直線方程或者一次方程,則可以采用換元法將所求二元代數(shù)式變?yōu)橐辉鷶?shù)式,利用配方法、均值定理或者圖像法求解代數(shù)式的取值范圍;若已知條件給的不是一次方程,則考慮將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題求解。本題的條件1和條件2給的都是不等式,則選擇第二種解題思路即轉(zhuǎn)化為幾何問題求解。
題干中,所求代數(shù)式x^2+y^2=1的幾何意義圓心為 (0,0)半徑為1的圓
條件1:4y-3x≥5表示的是直線4y-3x=5的一側(cè)區(qū)域,如圖陰影部分所示。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式, 求得圓心(0,0)到直線4y-3x=5的距離為1,即相切的位置關(guān)系。則陰影部分的所有點(diǎn)都在圓上和圓外,即將所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程,都滿足不等式x^2+y^2≥1。因此條件1充分
條件2:(x-1)^2+(y-1)^2≥5表示圓心為(1,1)半徑為5^0.5的圓周上及圓外的點(diǎn)(下圖陰影部分),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,得該圓與圓x^2+y^2=1的圓心距為2^0.5,半徑之差為5^0.5-1,圓心距2^0.5大于半徑之差5^0.5-1,因此兩圓為相交的位置關(guān)系,如圖所示
從圖中可看出,條件2不等式(x-1)^2+(y-1)^2≥5中的點(diǎn)(陰影部分)有部分在圓x^2+y^2=1內(nèi)部,則將這些圓內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓x^2+y^2=1,可得不等式x^2+y^2<1。因此,條件不充分
綜上所述,本題選A
【2014年10月第16題】直線y=k(x+2)與圓x^2+y^2=1相切
(1)k=1/2 (2)k=(3^0.5)/3
【解析】考查直線與圓的位置關(guān)系——相切
相切即圓心到直線的距離等于半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式,得如下方程:
直線y=k(x+2)的一般方程為kx-y+2k=0
圓心(0,0)到直線的距離為|k×0-0+2k|/[(k^2+1)^0.5]=1,解得k=(3^0.5)/3或-(3^0.5)/3
條件(1)k=1/2,此時(shí)圓心到直線的距離不等于半徑1,因此不相切;不充分
條件(2)k=(3^0.5)/3,此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑,相切。充分
綜上,此題選B
文章來源:跨考管綜初數(shù)組——馬燕
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