2017考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)之向量與線性方程組詳解

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線性代數(shù)知識占試卷的22%-23% ，所以還是需要重視的一部分，重要的考點(diǎn)：一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。下面分享整理的向量與線性方程組詳解，請2017的考生關(guān)注！

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1、齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系

齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng)變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：

①有唯一零解;

②有非零解。

當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)、無關(guān)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線性方程組是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)、無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

2、齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系

同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”。經(jīng)過 “秩→線性相關(guān)、無關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。

3、非齊次線性方程組與線性表出的聯(lián)系

非齊次線性方程組是否有解對應(yīng)于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。

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