【名師輔導(dǎo)】線性代數(shù)中的行列式重難點分析
行列式是線性代數(shù)的最基本的理論之一,在教育部考試中心所頒布的最新的考試大綱中,對行列式部分規(guī)定的考試內(nèi)容和考試要求如下:
1.考試內(nèi)容:(1)行列式的概念和基本性質(zhì);(2)行列式按行按列展開定理。
2.考試要求:(1)了解行列式的概念,掌握行列式的性質(zhì);(2)會應(yīng)用行列式的性質(zhì)與行列式按行(列)展開定理。
下面,筆者將根據(jù)歷年真題所呈現(xiàn)的題目類型,對行列式部分考查的重難點進行逐一分析。
1.n階行列式的定義。n階行列式的結(jié)果是一個數(shù)值(這一點請考生務(wù)必清楚),它是取自不同行.不同列的n個元素乘積的代數(shù)和。每一項的符號由行標(或列標)排成自然順序時,該項的列標(或行標)排列的逆序數(shù)所確定。行列式的定義是計算行列式的基礎(chǔ)。
對于行列式的定義,考生需要熟知的是:n階行列式的值是n階行列式取自不同行.不同列的n個元素乘積的代數(shù)和,由此不難得知,n階行列式的值是由n!項的代數(shù)和,在展開的n!項中,其中正項有n!/2個,負項也有n!/2個,例如下面的三階行列式。
2.n階行列式的性質(zhì)。行列式的性質(zhì)是計算行列式的關(guān)鍵,熟練運用行列式的性質(zhì)是正確計算行列式的保證??季V要求考生必須熟練掌握行列式的5條性質(zhì)和3個推論,并擁有快速計算行列式的能力。
3.n階行列式元素的余子式與代數(shù)余子式:這里代數(shù)余子式是重點,其作用不僅體現(xiàn)在行列式的展開定理中,而且還運用在矩陣的運算中,即矩陣中的伴隨矩陣,伴隨矩陣的元素就是原矩陣的元素的代數(shù)余子式。
4.n階行列式按行(列)展開定理及其推論??季V要求考生熟記行列式按行(列)展開的計算公式,并能熟練運用行列式的性質(zhì)和展開定理速算行列式。
示例:
5.幾個重要公式:考綱要求考生重點掌握對角行列式與上(下)三角行列式.方陣的行列式.范德蒙德行列式,能熟練運用這些公式計算行列式。
6.常見考點:利用行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、計算公式、矩陣的秩、矩陣的特征值、克拉默法則等計算一般形式的行列式、方陣的行列式、由向量組成的行列式、抽象矩陣的行列式。
示例:
參考資料:
1.《2019全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱》,教育部考試中心,高等教育出版社
2.《1987-2019全國碩士研究生招生考試真題大全》,跨考教研室
(本文為跨考教育教研室包新卓老師原創(chuàng),轉(zhuǎn)載請注明出處。)
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