考研數學線性代數命題注重知識點的銜接與轉換_跨考網
??????? 考研數學線性代數從內容上看縱橫交錯,前后聯系緊密,環(huán)環(huán)相扣,相互滲透,因此解題方法靈活多變,根據考研教育網數學輔導專家多年來對考研數學命題的分析發(fā)現,線性代數的命題重點,除了對基礎知識的注重外,還偏向于知識點的銜接與轉換。
舉例來說,設A是m×n矩陣,B是n×s矩陣,且AB=0,那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解,再根據基礎解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關系,可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n,進而可求矩陣A或B中的一些參數。
再如,若A是n階矩陣可以相似對角化,那么,用分塊矩陣處理P-1AP=∧可知A有n個線性無關的特征向量,P就是由A的線性無關的特征向量所構成,再由特征向量與基礎解系間的聯系可知此時若λi是ni重特征值,則齊次方程組(λiE-A)x=0的基礎解系由ni個解向量組成,進而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似對角化,則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是實對稱矩陣,則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現相似對角化。
又比如,對于n階行列式我們知道:若|A|=0,則Ax=0必有非零解,而Ax=b沒有惟一解(可能有無窮多解,也可能無解),而當|A|≠0時,可用克萊姆法則求Ax=b的惟一解;可用|A|證明矩陣A是否可逆,并在可逆時通過伴隨矩陣來求A-1;對于n個n維向量α1,α2,……αn可以利用行列式|A|=|α1α2……αn|是否為零來判斷向量組的線性相關性;矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數來定義的,若r(A)<r,則A中r階子式全為0;求矩陣A的特征值,可以通過計算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A的特征值,則行列式|λ0E-A|=0;判斷二次型xTAx的正定性,可以用順序主子式全大于零。
凡此種種,正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系,代數題的綜合性與靈活性就較大,同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。復習時應當常問自己做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結,努力搞清內在聯系,使所學知識融會貫通,接口與切入點多了,熟悉了,思路自然就開闊了。
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