2017考研數(shù)學(xué)高頻題型歸納（2）

整張?jiān)嚲砉?3題，其中第15題幾乎是極限計(jì)算大題的代名詞。極限計(jì)算有8種武器，分別為：四則運(yùn)算法則、等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法則、冪指型函數(shù)的處理、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界必有極限原理和泰勒公式。

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考生在基礎(chǔ)階段要把前5種武器掌握好：內(nèi)容是什么弄清楚，會(huì)應(yīng)用。后3種武器較難把握，我們可以分階段啃下這幾個(gè)硬骨頭。基礎(chǔ)階段弄清定理內(nèi)容，會(huì)做基本題目。

對(duì)于夾逼定理，內(nèi)容方面，考生要知曉它有數(shù)列和函數(shù)兩種形式。每種形式條件是什么，結(jié)論是什么要理解。以數(shù)列形式為例，條件是一個(gè)數(shù)列夾在另兩個(gè)數(shù)列之間(bn<= an<= cn, 只要n充分大時(shí)成立即可，因?yàn)榭紤]的是極限)，且有n趨于無窮時(shí)，兩邊的數(shù)列收斂到相同的數(shù)，結(jié)論是夾在中間的數(shù)列極限存在且極限值也為相同的數(shù)。應(yīng)用方面，要熟悉夾逼定理推出的一個(gè)結(jié)論：無窮小乘有界量等于無窮小。會(huì)用夾逼定理計(jì)算一種長(zhǎng)得很有型的數(shù)列的極限——n項(xiàng)分母互不相同的分式的和的極限。

對(duì)于單調(diào)有界必有極限原理，內(nèi)容不難理解。應(yīng)用方面，可以處理另一種長(zhǎng)得很有型的數(shù)列的極限問題——遞推式數(shù)列的極限的存在性問題中的簡(jiǎn)單題;也可以到了強(qiáng)化階段再全面處理這種題。

泰勒公式可以說是算極限的最強(qiáng)大的武器。萬物對(duì)立統(tǒng)一，這么強(qiáng)大的武器理解和運(yùn)用起來自然會(huì)有些難度。基礎(chǔ)階段，要理解泰勒公式有兩種形式——帶皮亞諾余項(xiàng)的公式和帶拉格朗日余項(xiàng)的公式，前者用來算極限，后者用來證明。算極限，需要記憶常見函數(shù)的泰勒公式。

五、冪級(jí)數(shù)求和、展開

處理此類問題可以從兩方面把握：工具和思路。

工具包括一般函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)、常見函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和逐項(xiàng)求導(dǎo)、積分定理。把這三部分內(nèi)容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)有兩種方法：直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法，即記住常用函數(shù)的泰勒展開公式，然后看題目所給函數(shù)跟哪個(gè)公式像，則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項(xiàng))和求導(dǎo)、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解：題目所給函數(shù)直接套公式不行，也不能通過基本變形后套公式，那就考慮求導(dǎo)數(shù)或求積分，把運(yùn)算后的函數(shù)套公式展開成冪級(jí)數(shù)，然后做逆運(yùn)算還原。

冪級(jí)數(shù)求和實(shí)質(zhì)是函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的逆過程，類似考慮即可。

六、中值相關(guān)證明

中值相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)公認(rèn)的難點(diǎn)，考生得分率在30%以下。該部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。基礎(chǔ)階段，要求考生對(duì)上述定理的內(nèi)容能完整表述，前四個(gè)定理會(huì)證明。

在基礎(chǔ)階段提出“會(huì)證”的要求并不過分，理由有三：1. 2015年真題考到了乘積的導(dǎo)數(shù)公式的證明，這提醒考生教材中的重要定理要會(huì)證;2. 2009年數(shù)一、二、三考了拉格朗日中值定理的證明3. 教材中原定理的證明中蘊(yùn)含中證明其它結(jié)論的思想。

七、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三)

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用包括三方面的內(nèi)容：最值問題、邊際問題和彈性問題。最值問題需熟悉經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用量(收益、利潤(rùn)、成本、價(jià)格和銷量)的關(guān)系，據(jù)此寫出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而化為普通的高數(shù)的最值問題;“邊際”對(duì)應(yīng)“導(dǎo)數(shù)”，如邊際利潤(rùn)即利潤(rùn)函數(shù)L(Q)的導(dǎo)數(shù);彈性需記清需求彈性的基本公式。

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