2017考研數(shù)學(xué)高頻題型歸納（1）

多元積分是數(shù)一的必考題型，平均每年一道大題，一道小題。該部分內(nèi)容包括三重積分、第一類(lèi)曲線積分、第二類(lèi)曲線積分、第一類(lèi)曲面積分、第二類(lèi)曲面積分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。主要考計(jì)算。

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在基礎(chǔ)階段，考生需分清這幾種積分和幾大公式，重點(diǎn)把握計(jì)算方法。

三重積分看成二重積分的推廣，計(jì)算方法是化成三次定積分(或一次定積分和一次二重積分)。具體的計(jì)算方法有三種：“先一后二”、“先二后一”和球坐標(biāo)。

第一類(lèi)曲線積分計(jì)算方法可概括為“帶入、定限”。對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)類(lèi)似于重積分。

第二類(lèi)曲線積分計(jì)算方法也可概括為“帶入、定限”，不過(guò)定限時(shí)不同于第一類(lèi)曲線積分的“從小到大”，而是“從起點(diǎn)到終點(diǎn)”。當(dāng)然，此種類(lèi)型積分的更重要的計(jì)算方法是利用格林公式。從考試的角度，此部分的重點(diǎn)在于格林公式、與此有關(guān)的積分與路徑無(wú)關(guān)和二元函數(shù)的全微分。

第一類(lèi)曲面積分計(jì)算方法可概括為“帶入、投影”。對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)類(lèi)似于重積分。

第二類(lèi)曲面積分計(jì)算方法也可概括為“帶入、投影”，不過(guò)投影時(shí)須考慮方向。從考試的角度，此部分的重點(diǎn)在于高斯公式。

斯托克斯公式本身形式較復(fù)雜，考試要求不高：記清基本公式，弄清何時(shí)用即可。計(jì)算第二類(lèi)曲線積分，積分曲線不易參數(shù)化時(shí)，考慮此公式。

二、二重積分

二重積分幾乎是數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三的必考內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)一同學(xué)學(xué)習(xí)多元積分的基礎(chǔ)。二重積分比較關(guān)鍵的是計(jì)算步驟。拿到一個(gè)二重積分，第一步應(yīng)檢驗(yàn)奇偶對(duì)稱(chēng)性。有同學(xué)可能由于想不到或急于求成，未用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)，結(jié)果徒增運(yùn)算量，增大出錯(cuò)的概率。第二步應(yīng)選擇坐標(biāo)系。只需搞清何時(shí)選擇極坐標(biāo)系，其余情況選擇直角坐標(biāo)系既可。二重積分有兩個(gè)要素——積分區(qū)域和被積函數(shù)，所以計(jì)算過(guò)程中涉及到選擇的時(shí)候要一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)。積分區(qū)域若為圓域或部分圓域，或者區(qū)域的邊界的極坐標(biāo)方程較直角坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單，則選極坐標(biāo)系，若被積函數(shù)為“f(x^2+ y^2)”的形式，也選極坐標(biāo)系。

若選擇了極坐標(biāo)系，那接下來(lái)干什么?要選擇積分次序嗎?不用選，肯定是先對(duì)r積分后對(duì)角度積分，另一種次序的積分幾乎沒(méi)出現(xiàn)過(guò)。再往后就是定限了。極坐標(biāo)系下定限可以簡(jiǎn)單概括為：從原點(diǎn)出發(fā)畫(huà)一條射線穿過(guò)積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的r坐標(biāo)即為第一次積分的積分上下限(把交點(diǎn)的r坐標(biāo)用角度表示)。接下來(lái)，讓剛才畫(huà)的這條射線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直到與積分區(qū)域的邊界相切，這兩條切線對(duì)應(yīng)的角度即為第二次積分的積分上下限。

若選擇了直角坐標(biāo)系，那接下來(lái)要選擇積分次序。又涉及到選擇了，當(dāng)然是一看積分區(qū)域，二看被積函數(shù)?？捶e分區(qū)域的原則是避免分類(lèi)討論，看被積函數(shù)的原則是讓第一次積分簡(jiǎn)單。次序選完后，就進(jìn)入到收官階段——定限了。直角坐標(biāo)系下定限可以簡(jiǎn)單概括為：先對(duì)誰(shuí)積分就畫(huà)一條平行于哪個(gè)坐標(biāo)軸的直線，穿過(guò)積分區(qū)域，與積分區(qū)域的邊界有兩個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)交點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著第一次積分的積分上下限。接下來(lái)，讓剛才畫(huà)的這條直線平行移動(dòng)，直到與積分區(qū)域的邊界相切。這兩條切線就對(duì)應(yīng)著第二次積分的積分上下限。

三、多元極值

多元極值問(wèn)題分成兩個(gè)子問(wèn)題：無(wú)條件極值和條件極值。

1. 無(wú)條件極值

此類(lèi)問(wèn)題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)的極值(或最值)。處理思路為利用多元函數(shù)極值的必要條件和充分條件。通過(guò)必要條件找出可能的極值點(diǎn)(駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn))，利用充分條件一一判斷。這部分考點(diǎn)及處理方式可以看成一元函數(shù)極值問(wèn)題的考點(diǎn)及處理方式的自然推廣。

2. 條件極值

此類(lèi)問(wèn)題的表述為：求某二元函數(shù)f(x，y)在約束條件g(x，y)=0下的極值(或最值)。處理思路為拉格朗日乘數(shù)法。

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