線性代數(shù)知識點框架(四)_跨考網(wǎng)
在之前研究線性方程組的解的過程當(dāng)中,注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用,故還有必要對矩陣及其運算進(jìn)行專門探討。
矩陣的加法和數(shù)乘,與向量的運算類同。
矩陣的另外一個重要應(yīng)用:線性變換(最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換)。即可以把一個矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。
矩陣的乘法,反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度a,矩陣B對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度b,則矩陣AB對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度a+b。
矩陣乘法的特點:若C=AB,則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應(yīng)乘積之和;A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同;C的行數(shù)是A的行數(shù),列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律,滿足結(jié)合律。
利用矩陣乘積的寫法,線性方程組可更簡單的表示為:Ax=b。
對于C=AB,還可作如下分析:將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式,即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示,從而推知C的列秩小于等于A的列秩;將 右邊的矩陣B寫成行向量組的形式,即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示,從而推知C的行秩小于等于B的行秩,再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的 秩,最終可得到結(jié)論,C的秩小于等于A的秩,也小于等于B的秩,即矩陣乘積的秩總不超過任一個因子的秩。
關(guān)于矩陣乘積的另外一個重要結(jié)論:矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。
一些特殊的矩陣:單位陣、對角陣、初等矩陣。尤其要注意,初等矩陣是單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。
每一個初等矩陣對應(yīng)一個初等變換,因為左乘的形式為PA(P為初等矩陣),將A寫成行向量組的形式,PA意味著對A做了一次初等行變換;同理,AP意味著對A做了一次初等列變換,故左乘對應(yīng)行變換,右乘對應(yīng)列變換。
若AB=E,則稱A為可逆矩陣,B是A的逆陣,同樣,這時的B也是可逆矩陣,注意可逆矩陣一定是方陣。
第一種求逆陣的方法:伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行(列)展開。
矩陣可逆,行列式不為零,行(列)向量組線性無關(guān),滿秩,要注意這些結(jié)論之間的充分必要性。
單位陣和初等矩陣都是可逆的。
若矩陣可逆,則一定可以通過初等變換化為單位陣,這是不難理解的,因為初等矩陣滿秩,故最后化成的階梯型(最簡形)中非零行數(shù)目等于行數(shù),主元數(shù)目等于 列數(shù),這即是單位陣。進(jìn)一步,既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣,而初等變換對應(yīng)的是初等矩陣,即意味著:可逆矩陣可以通過左(右)乘一系列初等矩 陣化為單位陣,換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積,因為單位陣在乘積中可略去。
可逆矩陣作為因子不會改變被乘(無論左乘右乘)的矩陣的秩。
由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積,可以想象,同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上,結(jié)果是將這個單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊?,由此引出求逆陣的第二種方法:初等變換。需要注意的是這個過程中不能混用行列變換,且同樣是左乘對應(yīng)行變換,右乘對應(yīng)列變換。
矩陣分塊,即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個整體,對這些被看作是整體的對象構(gòu)成的新的矩陣,運算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式,實際也就是一種最常見的對矩陣進(jìn)行分塊的方式。?
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