線性代數(shù)知識點(diǎn)框架(三)_跨考網(wǎng)
為了求向量組的秩,我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩,行向量組的秩稱為行秩。
對階梯形矩陣進(jìn)行考察,發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩,并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目,并且主元所在的列構(gòu)成列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。
矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩,也不會改變矩陣的列秩。
任取一個(gè)矩陣A,通過初等行變換將其化成階梯形J,則有:A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩,即對任意一個(gè)矩陣來說,其行秩和列秩相等,我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。
通過初等行變換化矩陣為階梯形,即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關(guān)組的方法。
考慮到A的行秩和A的轉(zhuǎn)置的列秩的等同性,則初等列變換也不會改變矩陣的秩??偠灾醯茸儞Q不會改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩,而不需要求A的列向量組的極大無關(guān)組時(shí),可以對A既作初等行變換,又作初等列變換,這會給計(jì)算帶來方便。
矩陣的秩,同時(shí)又可定義為不為零的子式的最高階數(shù)。
滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。
既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同,則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達(dá)如下:系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外,有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答:系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n,有唯一解,r
齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題,可以用基礎(chǔ)解系來表示。當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí),基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于n-r,用基礎(chǔ)解系表示的方程組的解的集合稱為通解。
通過對具體實(shí)例進(jìn)行分析,可以看到求基礎(chǔ)解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。
非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu),是由對應(yīng)的齊次通解加上一個(gè)特解。?
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